Geometria

Poincaré ilustrując to szeregiem sugestywnych przykładów dowodził, że możemy przyjąć dowolny – byle niesprzeczny – system geometryczny, o ile tylko odpowiednio dobierzemy towarzyszące mu prawa fizyki. A zatem nie ma sensu mówić o klasycznie rozumianej prawdziwości geometrii. Aksjomaty geometryczne same w sobie nie opisują przestrzeni, w której żyjemy, są to natomiast definicje w przebraniu. Mówiąc np. “suma kątów w trójkącie wynosi 180º“, nie stwierdzam własności pewnych fizycznych czy idealnych obiektów, ale mówię, że trójkątem nazywamy taką figurę, której suma kątów jest równa 180º. I jeśli zmierzywszy kąty figury o trzech bokach otrzymam inną wartość, to – na mocy definicji – stwierdzę, że figura ta (wbrew pozorom) nie jest trójkątem.

Pewniki geometryczne nie są więc ani sądami syntetycznymi a priori, ani faktami eksperymentalnymi. Są to konwencje; naszym wyborem, spośród wszystkich konwencji możliwych, kierują fakty eksperymentalne; wybór ten jednak jest swobodny, a ogranicza go tylko konieczność unikania wszelkiej sprzeczności. W ten sposób postulaty mogą pozostać ściśle prawdziwe, gdyby nawet prawa eksperymentalne, które zdecydowały o ich przyjęciu, były tylko przybliżone.

Innymi słowy, pewniki geometrii (nie mówię o pewnikach arytmetyki) są jedynie ukrytymi definicjami. Wobec tego, co należy myśleć o pytaniu: czy geometria euklidesowa jest prawdziwa? Pytanie to nie ma żadnego sensu. To tyle, co zapytać, czy system metryczny jest prawdziwy, a dawne miary fałszywe (…). Jedna geometria nie może być prawdziwsza od drugiej; może być ona jedynie wygodniejsza .

Systemy geometrii są wytworami naszej wyobraźni, a stosujemy je do opisu położeń i ruchów ciał w naszym otoczeniu. Jeśli twierdzenia jednego z systemów uważamy za obowiązujące, to jest tak na mocy umowy – konwencji – którą podświadomie, a co najwyżej półświadomie zawierają członkowie wspólnoty uczonych. To wyjaśnia poczucie pewności, jakie wzbudzają w nas aksjomaty wspólnotowo przyjętej geometrii (zwłaszcza gdy brak jest systemów alternatywnych).

Rozważmy dwa przypadki. Na podstawie dotychczasowych doświadczeń sądzimy, że Słońce jutro wzejdzie, ale pewności co do tego mieć nie możemy. Natomiast możemy być pewni, że pionek szachowy bije na ukos. Oczywiście nie na tej podstawie, że obserwowaliśmy tysiące partii szachów i uogólniliśmy (tak jak w przypadku wschodów Słońca) wyniki naszych spostrzeżeń – wtedy znów nie moglibyśmy mieć pewności. Mamy pewność, gdyż sami reguły gry w szachy ustaliliśmy. Źródłem pewności jest podjęta wspólnie przez ludzi decyzja, ustanawiająca reguły gry. Ale znaczy to, że nie ma sensu pytać, czy reguły gry w szachy są prawdziwe. Można pytać jedynie, czy ukonstytuowana przez nie gra jest interesująca, czy nie trwa za długo itd. Jedynym ograniczeniem jest wymóg niesprzeczności: nie dałoby się grać gdyby pewne ruchy był dozwolone przez którąś z przyjętych reguł, a zakazane przez inną.

Wojciech Sady